在我们日常的研究中，经常需要探讨两组变量之间的关系。例如，我们可能想知道学生的学习时间与考试成绩是否相关，或者某种药物的剂量与疗效之间是否存在关联。当数据不满足正态分布假设，或者变量是序数型（有序分类数据）而非连续型时，传统的皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）可能不再适用。这时，秩相关检验（Rank Correlation Test）就成为一种强大而实用的工具。
秩相关检验是什么？
秩相关检验是一种非参数统计方法，用于衡量两组变量之间单调关系的强度和方向。所谓“单调关系”，指的是随着一个变量的增加，另一个变量要么持续增加（正相关），要么持续减少（负相关），但这种变化不一定是线性的。秩相关检验的核心思想是将原始数据转换为秩（rank，即顺序），然后基于这些秩计算相关系数，从而避免对数据分布的假设。
秩相关检验主要有两种常见形式：
- 斯皮尔曼秩相关检验（Spearman’s Rank Correlation Test）：最常用的秩相关方法，适用于连续变量、序数变量或混合数据。
- 肯德尔秩相关检验（Kendall’s Rank Correlation Test）：另一种秩相关方法，侧重于一致性（concordance）的测量，通常计算量稍大，但在某些情况下更稳健。
两种方法各有优势，斯皮尔曼方法更简单直观，而肯德尔方法在小样本或数据中有较多并列值（ties）时表现更好。我们将以斯皮尔曼秩相关检验为主进行详细讲解，但在最后会简要介绍肯德尔方法。
秩相关检验的适用场景
秩相关检验属于非参数方法，因此它的适用范围较广，尤其适合以下情况：
- 数据不满足正态分布：例如，变量呈现偏态分布（如对数分布或幂律分布）。
- 序数数据：如问卷调查中的等级评分（“非常满意”到“非常不满意”）。
- 非线性但单调的关系：如果两变量之间的关系不是严格线性，但存在单调趋势。
- 小样本研究：非参数方法对样本量要求较低，适合初步分析。
- 存在异常值：秩方法对离群值不敏感，因为它只关心顺序而非具体数值。
例如，假设一位科研人员想研究某地区降雨量（连续变量）与居民幸福感评分（1-5的序数变量）之间的关系。由于幸福感是序数数据，且降雨量可能不服从正态分布，秩相关检验是理想的选择。
斯皮尔曼秩相关检验的原理与计算步骤
斯皮尔曼秩相关系数（记为ρ）的计算基于数据的秩差。以下是具体步骤：
1. 数据准备
假设有两组变量 X 和Y ，每组有n个观测值。例如：
- X : [4, 7, 2, 9, 5]（如学习时间，单位：小时）
- Y: [80, 85, 70, 90, 75]（如考试成绩）
2. 将原始数据转换为秩
对X 和 Y 分别从小到大排序，并赋予秩（1, 2, 3, …, n）。如果有并列值（ties），取平均秩。例如：
- X的秩：2（4）、4（7）、1（2）、5（9）、3（5）
- Y的秩：3（80）、4（85）、1（70）、5（90）、2（75）
3. 计算秩差并平方
对每一对观测值，计算X和Y的秩差di（即di=rank(Xi)−rank(Yi)）），然后平方：
4. 计算斯皮尔曼相关系数
使用公式：
其中，∑di2是秩差平方的总和，n 是观测值的数量。代入数据：
5. 结果解释
rs 的取值范围为 [-1, 1]：
- rs > 0：正相关，值越接近1，单调递增关系越强。
- rs < 0：负相关，值越接近-1，单调递减关系越强。
- rs = 0：无单调相关。在本例中，rs = 0.9，表明学习时间与考试成绩之间存在强烈的正单调关系。
6. 显著性检验（可选）
为了判断相关系数是否显著，可进行假设检验：
- 零假设H0 ：ρ=0 （（无相关）。
- 对立假设H1：ρ≠0 （存在相关）。对于小样本，可查斯皮尔曼相关系数的临界值表；对于大样本（n > 10 ），可用近似t 检验：
计算 t 值后，与 t 分布表比较，确定ρ值。
当数据有并列值时怎么办？
如果数据中有并列值（如两个观测值都是7），秩的赋值需调整。例如：
- X = [4, 7, 7, 9]
- 秩：1（4）、2.5（7）、2.5（7）、4（9），其中7的秩取平均值 (2 + 3) / 2 = 2.5 。
此时，标准公式仍适用，但若并列值较多，可考虑修正公式或直接使用统计软件（如SPSS、R、Python）计算。
使用统计软件实现
手动计算适合小样本，但科研中常涉及大数据。以下是常用工具的实现方法：
1. Python：
from scipy.stats import spearmanr
x = [4, 7, 2, 9, 5]
y = [80, 85, 70, 90, 75]
rho, pval = spearmanr(x, y)
print(f"斯皮尔曼相关系数: {rho}, p值: {pval}")
2. R：
x <- c(4, 7, 2, 9, 5)
y <- c(80, 85, 70, 90, 75)
cor.test(x, y, method = "spearman")
肯德尔秩相关检验简介
肯德尔相关系数（记为 \( \tau \)）基于一致对（concordant pairs）和不一致对（discordant pairs）的数量。公式为：
计算较复杂，但适合并列值较多的情况。软件实现类似，Python 用 scipy.stats.kendalltau，R 用 cor.test(method = "kendall")。
注意事项
- 样本量：秩相关对小样本有效，但样本过小时显著性检验可能缺乏统计效力。
- 因果关系：相关不代表因果，需结合研究设计进一步验证。
- 数据质量：确保数据无系统性缺失或错误。
最后
秩相关检验是一种灵活、稳健的统计工具，特别适合处理非正态分布或序数数据。斯皮尔曼方法简单易用，肯德尔方法则在特定场景下更优。科研人员可根据数据特点选择合适方法，并借助软件提高效率。AJE希望本文能为您的研究提供清晰的指导！
